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							<!--
Introdução elementar à Lógica
http://saw.atp.usp.br/mod/page/view.php?id=13310

https://www.ascii.cl/htmlcodes.htm

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  <title>Introdução elementar à Lógica</title>
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<link rel='stylesheet' type='text/css' href='./css/codigos_css.css'> <!-- css Bernardo-->
<span style="color: #0055AA"><b>Introdução elementar à Lógica</b></span>

<!--
<p>
<b>Alterações</b>:
  2018/04/16 - primeira versão
</p>

&nbsp;<br/>
-->

<p>
  Na seção apresento os princípios da lógica <i>booleana</i>, lembrando o que é <i>tabela verdade</i>
  e as leis de De Morgan.
  <!--
  Augustus De Morgan -  27 June 1806 – 18 March 1871 - https://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan
  https://www.ime.usp.br/~bianconi/recursos/lo.pdf
  -->
</p>

<span style="color: #0055AA"><b>Sentenças lógicas e conjuntos</b></span>

<p>
  A lógica é essencial para a matemática como ciência, ela ajuda a estruturar a linguagem matemática.
  Pode-se considerar cada afirmação matemática como uma sentança lógica, um teorema pode ser visto como uma
  sentença do tipo <i>A implica B</i>.
</p>

<p>
  De outra parte, cada sentença lógica pode ser examinada sob o de vista de conjuntos.
  No exemplo <i>A implica B</i>, se entendermos <i>A</i> e <i>B</i> como conjuntos, a implicação indica que
  o conjunto <i>A</i> está contido no conjunto <i>B</i>. Isso está ilustrado na figura <i>1.a</i>.
</p>

<p>
  Existem três operadores básicos para lógica, a <i>negação</i>, a <i>conjunção</i> e a <i>disjunção</i>,
  respectivamente os operadores <b>não</b>, <b>e</b> e <b>ou</b>.
  </p>

  <p>
    Representação dos operadores lógicos nas linguagens C, Python e iVProg:
    <center><table class="tg">
      <tr><th class="tab_titulo">Operador</td><th class="tab_titulo">C <th class="tab_titulo">Python</td> <th class="tab_titulo">iVProg</td></tr>
      <tr class="tg-c3ow"><td>não         </td>                  <td> !                  <td> not                      </td><td> nao   </td></tr>
      <tr class="tg-c3ow"><td>e           </td>                  <td> &&                 <td> and                      </td><td> e   </td></tr>
      <tr class="tg-c3ow"><td>ou          </td>                  <td> ||                 <td> or                       </td><td> ou   </td></tr>
    </table></center>
  </p>

<details>
  <summary class="tab" style="margin:0; width:200px">Para conhecer mais</summary>
  <div class="paraConhecerMais">
    <p>
      Assim a sentença <i>não A</i> pode ser entendida como o complemento do conjunto <i>A</i>, ilustrado na figura <i>1.b</i>.
      E podemos compor as sentenças, por exemplo, criando a sentença <i>não A e B</i>, ou seja, como conjunto, os elementos
      que não estão em <i>A</i> e que simultaneamente estão em <i>B</i>, como ilustrado na figura <i>1.c</i>.
    </p>

    <p>
    A figura <i>1.a</i> apresenta o conjunto <i>B</i> (azul mais claro), contendo o conjunto <i>A</i>.
    A figura <i>1.b</i> apresenta o <b>complemento</b> ao conjunto <i>A</i> (azul mais claro), ou seja,
    os elementos que não estão em <i>A</i>.
    A figura <i>1.c</i> mostra a interseção (equivalente à disjunção) entre o complemento ao conjunto <i>A</i> e o conjunto <i>B</i>
    (azul mais claro), ou seja, os elementos que estão no complemento de <i>A</i> com aqueles que
    estão em <i>B</i>.
    <center>
      <img src="img/t2/img_conj_a_contido_b.png" title="1.a: imagem ilustrando conjunto A contido no conjunto B"/>
      <img src="img/t2/img_conj_nao_a.png" title="1.b: imagem ilustrando conjunto nao A" />
      <img src="img/t2/img_conj_nao_a_e_b.png" title="1.c: imagem ilustrando conjunto nao A e B" />
    </center>
    </p>
  </div>
</details>
<br />
<br />


<a name="explog"><span style="color: #0050A0">Tabela verdade</span></a>

<p>
  Do ponto de vista da lógica, cada sentença deve ser ou <i>verdadeira</i> ou </i>falsa</i>
  (isto é, pode ocorrer apenas uma das duas opções - um "ou exclusivo").
  Assim, dada uma sentença formada com <i>k</i> itens lógicos (ou sentenças elementares),
  pode-se fazer uma tabela com <i>k+1</i> colunas, sendo a primeira formada pelo item 1,
  a segunda pelo item 2 e assim por diante. A coluna <i>k+1</i> representa a sentença completa.
  Nesse caso a tabela terá <i>2<sup>k</sup></i> linhas, cada linha terá uma <i>combinação</i>
  possível para os valores <i>verdadeiro</i> ou </i>falso</i>.
  O valor lógico na última coluna representará o resultado da frase.
</p>

<p>
  Por exemplo, se a sentença tem um único item, existem duas linhas e a última coluna é precisamente o valor da primeira coluna.
  Se a sentença tiver dois itens, então teremos 4 linhas e o valor lógico na última coluna é o resultado.
  (isto é, pode ocorrer apenas uma das duas opções - um "ou exclusivo").
  Assim, dada uma sentença formada com <i>k</i> itens lógicos (ou sentenças elementares),
  pode-se fazer uma tabela com <i>k+1</i> colunas, sendo a primeira formada pelo item 1,
  a segunda pelo item 2 e assim por diante. A coluna <i>k+1</i> representa a sentença completa.
  Nesse caso a tabela terá <i>2<sup>k</sup></i> linhas, cada linha terá uma <i>combinação</i>
  possível para os valores <i>verdadeiro</i> ou </i>falso</i>.
</p>

<p>
  As tabelas abaixo representam as sentenças das operações básicas <i>não A</i>, <i>A e B</i> e <i>A ou B</i>.
  Simplificaremos escrevendo "verd" para "verdadeiro" (<i>1</i> em <i>C</i> e <i>true</i> em <i>Python</i>)
  "fals" para "falso" (<i>0</i> em <i>C</i> e <i>false</i> em <i>Python</i>).
  <center>
  <table><tr>
    <td>
    <table class="tbCodeLinCol">
     <tr><th>A</th> <th>não A</th></tr>
     <tr><td>verd</td><td>fals</td></tr>
     <tr><td>fals</td><td>verd</td></tr>
    </table></td>
    <td> &nbsp; </td>
    <td>
    <table class="tbCodeLinCol">
     <tr><th>A</th> <th>B</th> <th>A e B</th></tr>
     <tr><td>verd</td><td>verd</td><td>verd</td></tr>
     <tr><td>verd</td><td>fals</td><td>fals</td></tr>
     <tr><td>fals</td><td>verd</td><td>fals</td></tr>
     <tr><td>fals</td><td>fals</td><td>fals</td></tr>
    </table></td>
    <td> &nbsp; </td>
    <td>
    <table class="tbCodeLinCol">
     <tr><th>A</th> <th>B</th> <th>A ou B</th></tr>
     <tr><td>verd</td><td>verd</td><td>verd</td></tr>
     <tr><td>verd</td><td>fals</td><td>verd</td></tr>
     <tr><td>fals</td><td>verd</td><td>verd</td></tr>
     <tr><td>fals</td><td>fals</td><td>fals</td></tr>
    </table></td>
    <td> &nbsp; </td>
    </tr>
  </table>
  </center>
</p>

<p>
  Portanto, a negação inverte o valor lógico, a conjunção resulta em verdadeiro se, e somente se ambos
  os itens são verdadeiro e a disjunção resulta falso se, e somente se ambos os itens forem falsos.
</p>

<p>
  Note que tanto a disjunção quanto a conjunção são operações comutativas e associativas.
  Comutativas:
    <i>A e B</i> é o mesmo que <i>B e A</i> (produz a mesma tabela verdade);
    <i>A ou B</i> é o mesmo que <i>B ou A</i>.
  Associativas:
    <i>A e (B e C)</i> é o mesmo que <i>(A e B) e C</i>;
    <i>A ou (B ou C)</i> é o mesmo que <i>(A ou B) ou C</i>.
</p>


<a name="exp-py"><span style="color: #0050A0">Leis de De Morgan</span></a>

<p>
  Do mesmo modo que na aritmética podemos compor expressões com diferentes operadores (como '+' e '-'),
  também podemos compor sentenças misturando os três operadores.
  Para isso é interessante perceber que valem as seguintes equivalências, denominadas
  <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan" title="examinar WikiPedia sobre Augustus De Morgan">leis de De Morgan</a></i>:
  <center>
    <b>não (A e B)</b> &equiv; <b>(não A) ou (não B)</b><br/>
    <b>não (A ou B)</b> &equiv; <b>(não A) e (não B)</b><br/>
  </center>
</p>

<p>
  Agora, tente montar as tabelas verdades para cada par de senteça. Observe que cada uma produz o mesmo resultado de seu par.
</p>


<p>
  Algumas fontes para aprofundamento:
  na <i>WikiPedia</i> examinar os vocábulos
  <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan%27s_laws" title="seguir para o vocabulo De_Morgan na WikiPedia em Ingles">
  De Morgan's laws</a> ou
  <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_De_Morgan" title="seguir para o vocabulo De_Morgan na WikiPedia em Portugues">
  Teoremas de De Morgan</a>.
  Se desejar aprofundar o entendimento sobre a linguagem matemática
  pegue a apostila do professor
  <a href="https://www.ime.usp.br/~bianconi/recursos/lo.pdf" title="pegar a apostila sobre logica de Bianconi">
  Ricardo Bianconi</a>.
</p>

<p>
<a href="https://www.ime.usp.br/~leo" title="seguir para a pagina">Leônidas de Oliveira Brandão</a><br/>
<a href="http://www.ime.usp.br/~leo" title="seguir para a pagina do LInE">http://line.ime.usp.br</a>
</p>


<div class="rodape">
  Versão 1.5. 2019/07/14: adição do iVProg;
  Versão 1. 2018/04/16
</div>

</body>