Na seção apresento os princípios da lógica booleana, lembrando o que é tabela verdade e as leis de De Morgan.

A lógica é essencial para a matemática como ciência, ela ajuda a estruturar a linguagem matemática. Pode-se considerar cada afirmação matemática como uma sentança lógica, um teorema pode ser visto como uma sentença do tipo A implica B.

De outra parte, cada sentença lógica pode ser examinada sob o de vista de conjuntos. No exemplo A implica B, se entendermos A e B como conjuntos, a implicação indica que o conjunto A está contido no conjunto B. Isso está ilustrado na figura 1.a.

Existem três operadores básicos para lógica, a negação, a conjunção e a disjunção, respectivamente os operadores não, e e ou.

Representação dos operadores lógicos nas linguagens C, Python e iVProg:

Para conhecer mais

Assim a sentença não A pode ser entendida como o complemento do conjunto A, ilustrado na figura 1.b. E podemos compor as sentenças, por exemplo, criando a sentença não A e B, ou seja, como conjunto, os elementos que não estão em A e que simultaneamente estão em B, como ilustrado na figura 1.c.

A figura 1.a apresenta o conjunto B (azul mais claro), contendo o conjunto A. A figura 1.b apresenta o complemento ao conjunto A (azul mais claro), ou seja, os elementos que não estão em A. A figura 1.c mostra a interseção (equivalente à disjunção) entre o complemento ao conjunto A e o conjunto B (azul mais claro), ou seja, os elementos que estão no complemento de A com aqueles que estão em B.

Do ponto de vista da lógica, cada sentença deve ser ou verdadeira ou falsa (isto é, pode ocorrer apenas uma das duas opções - um "ou exclusivo"). Assim, dada uma sentença formada com k itens lógicos (ou sentenças elementares), pode-se fazer uma tabela com k+1 colunas, sendo a primeira formada pelo item 1, a segunda pelo item 2 e assim por diante. A coluna k+1 representa a sentença completa. Nesse caso a tabela terá 2^k linhas, cada linha terá uma combinação possível para os valores verdadeiro ou falso. O valor lógico na última coluna representará o resultado da frase.

Por exemplo, se a sentença tem um único item, existem duas linhas e a última coluna é precisamente o valor da primeira coluna. Se a sentença tiver dois itens, então teremos 4 linhas e o valor lógico na última coluna é o resultado. (isto é, pode ocorrer apenas uma das duas opções - um "ou exclusivo"). Assim, dada uma sentença formada com k itens lógicos (ou sentenças elementares), pode-se fazer uma tabela com k+1 colunas, sendo a primeira formada pelo item 1, a segunda pelo item 2 e assim por diante. A coluna k+1 representa a sentença completa. Nesse caso a tabela terá 2^k linhas, cada linha terá uma combinação possível para os valores verdadeiro ou falso.

As tabelas abaixo representam as sentenças das operações básicas não A, A e B e A ou B. Simplificaremos escrevendo "verd" para "verdadeiro" (1 em C e true em Python) "fals" para "falso" (0 em C e false em Python).

Portanto, a negação inverte o valor lógico, a conjunção resulta em verdadeiro se, e somente se ambos os itens são verdadeiro e a disjunção resulta falso se, e somente se ambos os itens forem falsos.

Note que tanto a disjunção quanto a conjunção são operações comutativas e associativas. Comutativas: A e B é o mesmo que B e A (produz a mesma tabela verdade); A ou B é o mesmo que B ou A. Associativas: A e (B e C) é o mesmo que (A e B) e C; A ou (B ou C) é o mesmo que (A ou B) ou C.

Do mesmo modo que na aritmética podemos compor expressões com diferentes operadores (como '+' e '-'), também podemos compor sentenças misturando os três operadores. Para isso é interessante perceber que valem as seguintes equivalências, denominadas leis de De Morgan:

Agora, tente montar as tabelas verdades para cada par de senteça. Observe que cada uma produz o mesmo resultado de seu par.

Algumas fontes para aprofundamento: na WikiPedia examinar os vocábulos De Morgan's laws ou Teoremas de De Morgan. Se desejar aprofundar o entendimento sobre a linguagem matemática pegue a apostila do professor Ricardo Bianconi.

Leônidas de Oliveira Brandão
http://line.ime.usp.br